(x)=2(x-1)^2+1 lösen

$$( x ) = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x^{2}-2x+1 zu multiplizieren.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Auf beiden Seiten 4x addieren.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Kombinieren Sie x und 4x, um 5x zu erhalten.

$$5x-2x^{2}=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$1,6 2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+6=7 2+3=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=3 b=2$$

-2x^{2}+5x-3 als \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie -x in -2x^{2}+3x aus.

$$-x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(-x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und -x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x^{2}-2x+1 zu multiplizieren.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Auf beiden Seiten 4x addieren.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Kombinieren Sie x und 4x, um 5x zu erhalten.

$$5x-2x^{2}=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 5 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 25 zu -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-5±1}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±1}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Dividieren Sie -4 durch -4.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±1}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von -5.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x^{2}-2x+1 zu multiplizieren.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Auf beiden Seiten 4x addieren.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Kombinieren Sie x und 4x, um 5x zu erhalten.

$$5x-2x^{2}=3$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+5x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividieren Sie 5 durch -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividieren Sie 3 durch -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie -\frac{3}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$