(9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0 lösen

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(9-5x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

\left(9-5x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 81-90x+25x^{2} zu multiplizieren.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Addieren Sie 81 und 162, um 243 zu erhalten.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Kombinieren Sie -90x und -180x, um -270x zu erhalten.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Kombinieren Sie 25x^{2} und 50x^{2}, um 75x^{2} zu erhalten.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Subtrahieren Sie 24 von 243, um 219 zu erhalten.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 75, b durch -270 und c durch 219.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} und x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} positiv und x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} negativ ist.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} positiv und x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} negativ ist.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$