(3+r)^2+(15+r)^2=18^2 lösen

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Nach r auflösen

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(3+r\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

\left(15+r\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Addieren Sie 9 und 225, um 234 zu erhalten.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Kombinieren Sie 6r und 30r, um 36r zu erhalten.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Kombinieren Sie r^{2} und r^{2}, um 2r^{2} zu erhalten.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Potenzieren Sie 18 mit 2, und erhalten Sie 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtrahieren Sie 324 von beiden Seiten.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Subtrahieren Sie 324 von 234, um -90 zu erhalten.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 36 und c durch -90, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

36 zum Quadrat.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 1296 zu 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -36 zu 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Dividieren Sie -36+12\sqrt{14} durch 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12\sqrt{14} von -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Dividieren Sie -36-12\sqrt{14} durch 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(3+r\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

\left(15+r\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Addieren Sie 9 und 225, um 234 zu erhalten.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Kombinieren Sie 6r und 30r, um 36r zu erhalten.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Kombinieren Sie r^{2} und r^{2}, um 2r^{2} zu erhalten.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Potenzieren Sie 18 mit 2, und erhalten Sie 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtrahieren Sie 234 von beiden Seiten.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Subtrahieren Sie 234 von 324, um 90 zu erhalten.

$$36r+2r^{2}=90$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2r^{2}+36r=90$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Dividieren Sie 36 durch 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Dividieren Sie 90 durch 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Dividieren Sie 18, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 9 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 9 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

9 zum Quadrat.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Addieren Sie 45 zu 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Faktor r^{2}+18r+81. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Vereinfachen.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$