(2x+5)^2=(x+2)^2 lösen

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Kombinieren Sie 20x und -4x, um 16x zu erhalten.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 25, um 21 zu erhalten.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 63 ergeben.

$$1,63 3,21 7,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=7 b=9$$

3x^{2}+16x+21 als \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+7=0 und x+3=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Kombinieren Sie 20x und -4x, um 16x zu erhalten.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 25, um 21 zu erhalten.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 16 und c durch 21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 256 zu -252.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±2}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 2.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±2}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von -16.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie -18 durch 6.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Kombinieren Sie 20x und -4x, um 16x zu erhalten.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+16x=4-25$$

Subtrahieren Sie 25 von 4, um -21 zu erhalten.

$$3x^{2}+16x=-21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

Dividieren Sie -21 durch 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

Dividieren Sie \frac{16}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{8}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{8}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{8}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

Addieren Sie -7 zu \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{8}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$