(2x+1)^2=(x-5)^2 lösen

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombinieren Sie 4x und 10x, um 14x zu erhalten.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Subtrahieren Sie 25 von 1, um -24 zu erhalten.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=-4 b=18$$

3x^{2}+14x-24 als \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-4=0 und x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombinieren Sie 4x und 10x, um 14x zu erhalten.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Subtrahieren Sie 25 von 1, um -24 zu erhalten.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 14 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 196 zu 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±22}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±22}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Dividieren Sie -36 durch 6.

$$x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombinieren Sie 4x und 10x, um 14x zu erhalten.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 25, um 24 zu erhalten.

$$3x^{2}+14x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Dividieren Sie 24 durch 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Dividieren Sie \frac{14}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Addieren Sie 8 zu \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

\frac{7}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$