y^2-15y=-54 lösen

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Nach y auflösen

$$y=6$$

$$y=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Auf beiden Seiten 54 addieren.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Um die Gleichung, den Faktor y^{2}-15y+54 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-15 ab=54$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 54 ergeben.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -15 ergibt.

$$a=-9 b=-6$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-9=0 und y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 54 addieren.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+54 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 54 ergeben.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -15 ergibt.

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54 als \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -6 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-9=0 und y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}-15y=-54$$

Addieren Sie 54 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Die Subtraktion von -54 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Subtrahieren Sie -54 von 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -15 und c durch 54, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Addieren Sie 225 zu -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{15±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$y=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{15±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$y=6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=9 y=6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}-15y=-54$$

Dividieren Sie -15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie -54 zu \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=9 y=6$$