x^2-8x-15=5 lösen

$${ x }^{ 2 } -8x-15=5$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von -15, um -20 zu erhalten.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-8x-20 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-10 b=2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von -15, um -20 zu erhalten.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-10 b=2$$

x^{2}-8x-20 als \left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-8x-15=5$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-8x-15-5=5-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von -15.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -8 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -20.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±12}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±12}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 12.

$$x=\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie 20 durch 2.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±12}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 8.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-8x-15=5$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=5-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-8x=5-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 5.

$$x^{2}-8x=20$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Addieren Sie 20 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Vereinfachen.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=-2$$