x^2-5/2x-1/2=0 lösen

$${ x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x- \frac{ 1 }{ 2 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{33} + 5}{4} \approx 2,686140662$$

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}\approx -0,186140662$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -\frac{5}{2} und c durch -\frac{1}{2}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\frac{25}{4}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\frac{25}{4}+2}}{2}$$

Addieren Sie \frac{25}{4} zu 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\frac{33}{4}}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{33}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}$$

Das Gegenteil von -\frac{5}{2} ist \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{5}{2} zu \frac{\sqrt{33}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{2\times 2}$$

Dividieren Sie \frac{5+\sqrt{33}}{2} durch 2.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{\sqrt{33}}{2} von \frac{5}{2}.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2\times 2}$$

Dividieren Sie \frac{5-\sqrt{33}}{2} durch 2.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Die Subtraktion von -\frac{1}{2} von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie -\frac{1}{2} von 0.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{33}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$$