x^2+4x-117 lösen

$${ x }^{ 2 } +4x-117$$

Faktorisieren

$$\left(x-9\right)\left(x+13\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-117 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=1\left(-117\right)=-117$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -117 ergeben.

$$-1,117 -3,39 -9,13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+117=116 -3+39=36 -9+13=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-9 b=13$$

x^{2}+4x-117 als \left(x^{2}-9x\right)+\left(13x-117\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(13x-117\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 13 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-9\right)+13\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(x+13\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}+4x-117=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-117\right)}}{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-117\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -117.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+468}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 468.

$$x=\frac{-4±\sqrt{484}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-4±22}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±22}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 22.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±22}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von -4.

$$x=-\frac{26}{2}$$

Dividieren Sie -26 durch 2.

$$x=-13$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 9 und für x_{2} -13 ein.

$$x^{2}+4x-117=\left(x-9\right)\left(x-\left(-13\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$x^{2}+4x-117=\left(x-9\right)\left(x+13\right)$$

Auswerten

$$\left(x-9\right)\left(x+13\right)$$