x^2+2x+9=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +2x+9=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-1+2\sqrt{2}i\approx -1+2,828427125i$$

$$x=-2\sqrt{2}i-1\approx -1-2,828427125i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+2x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 2 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 9}}{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 9}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-36}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu -36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-32}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -32.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{2}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±4\sqrt{2}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 4i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+4\sqrt{2}i}{2}$$

Dividieren Sie -2+4i\sqrt{2} durch 2.

$$x=-1+2\sqrt{2}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±4\sqrt{2}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{2} von -2.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i-2}{2}$$

Dividieren Sie -2-4i\sqrt{2} durch 2.

$$x=-2\sqrt{2}i-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1+2\sqrt{2}i x=-2\sqrt{2}i-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+2x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x=-9$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-9+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=-9+1$$

Addieren Sie -9 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=-8$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=-8$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-8}$$

Vereinfachen.

$$x+1=2\sqrt{2}i x+1=-2\sqrt{2}i$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-1+2\sqrt{2}i x=-2\sqrt{2}i-1$$