x^2+11x+28=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +11x+28=0$$

Nach x auflösen

$$x=-7$$

$$x=-4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+11x+28 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=28$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.

$$1,28 2,14 4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=4 b=7$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+4=0 und x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=1\times 28=28$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.

$$1,28 2,14 4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=4 b=7$$

x^{2}+11x+28 als \left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+4\right)+7\left(x+4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+4=0 und x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+11x+28=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 11 und c durch 28, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 28}}{2}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 28.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2}$$

Addieren Sie 121 zu -112.

$$x=\frac{-11±\sqrt{9}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-11±3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$x=-4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -11.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie -14 durch 2.

$$x=-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-4 x=-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+11x+28=0$$

28 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+11x+28-28=-28$$

Die Subtraktion von 28 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+11x=-28$$

Dividieren Sie 11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie -28 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}+11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{11}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-4 x=-7$$