left(x-3right)^2=4x(3-x) lösen

$${ \left(x-3 \right) }^{ 2 } =4x(3-x)$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9=4x\left(3-x\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x mit 3-x zu multiplizieren.

$$x^{2}-6x+9=12x-4x^{2}$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$x^{2}-6x+9-12x=-4x^{2}$$

Kombinieren Sie -6x und -12x, um -18x zu erhalten.

$$x^{2}-18x+9=-4x^{2}$$

Auf beiden Seiten 4x^{2} addieren.

$$x^{2}-18x+9+4x^{2}=0$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}-18x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-18 ab=5\times 9=45$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 45 ergeben.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -18 ergibt.

$$a=-15 b=-3$$

5x^{2}-18x+9 als \left(5x^{2}-15x\right)+\left(-3x+9\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 5x-3=0.

$$x=3 x=\frac{3}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9=4x\left(3-x\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x mit 3-x zu multiplizieren.

$$x^{2}-6x+9=12x-4x^{2}$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$x^{2}-6x+9-12x=-4x^{2}$$

Kombinieren Sie -6x und -12x, um -18x zu erhalten.

$$x^{2}-18x+9=-4x^{2}$$

Auf beiden Seiten 4x^{2} addieren.

$$x^{2}-18x+9+4x^{2}=0$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}-18x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -18 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

-18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-180}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 324 zu -180.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±12}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -18 ist 18.

$$x=\frac{18±12}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{18±12}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±12}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 18 zu 12.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie 30 durch 10.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±12}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 18.

$$x=\frac{6}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=\frac{3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9=4x\left(3-x\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x mit 3-x zu multiplizieren.

$$x^{2}-6x+9=12x-4x^{2}$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$x^{2}-6x+9-12x=-4x^{2}$$

Kombinieren Sie -6x und -12x, um -18x zu erhalten.

$$x^{2}-18x+9=-4x^{2}$$

Auf beiden Seiten 4x^{2} addieren.

$$x^{2}-18x+9+4x^{2}=0$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}-18x+9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$5x^{2}-18x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-18x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{18}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{9}{5}+\frac{81}{25}$$

Addieren Sie -\frac{9}{5} zu \frac{81}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{36}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{6}{5}$$

Addieren Sie \frac{9}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=\frac{3}{5}$$