left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12 lösen

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Kombinieren Sie 2x und 4x, um 6x zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Addieren Sie 1 und 4, um 5 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Kombinieren Sie 6x und -x, um 5x zu erhalten.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Subtrahieren Sie 12 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Subtrahieren Sie 12 von 5, um -7 zu erhalten.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -14 ergeben.

$$-1,14 -2,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-2 b=7$$

2x^{2}+5x-7 als \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Kombinieren Sie 2x und 4x, um 6x zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Addieren Sie 1 und 4, um 5 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Kombinieren Sie 6x und -x, um 5x zu erhalten.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Subtrahieren Sie 12 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Subtrahieren Sie 12 von 5, um -7 zu erhalten.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 5 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±9}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Dividieren Sie 4 durch 4.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±9}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

\left(x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Kombinieren Sie 2x und 4x, um 6x zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Addieren Sie 1 und 4, um 5 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Kombinieren Sie 6x und -x, um 5x zu erhalten.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Subtrahieren Sie 5 von 12, um 7 zu erhalten.

$$2x^{2}+5x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie \frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

\frac{5}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$