sqrt{x+2}=x+1 lösen

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

Lösungsschritte

Erheben Sie beide Seiten der Gleichung zum Quadrat.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie \sqrt{x+2} mit 2, und erhalten Sie x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

Kombinieren Sie x und -2x, um -x zu erhalten.

$$-x+2-x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von 2, um 1 zu erhalten.

$$-x+1-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}-x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -1 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

Dividieren Sie 1+\sqrt{5} durch -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{5} von 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

Dividieren Sie 1-\sqrt{5} durch -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{-\sqrt{5}-1}{2} in der Gleichung \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} erfüllt nicht die Gleichung, da die linke und die rechte Seite eine entgegen gesetzter Zeichen haben.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{\sqrt{5}-1}{2} in der Gleichung \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Vereinfachen. Der Wert x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} entspricht der Formel.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Formel \sqrt{x+2}=x+1 hat eine eigene Lösung.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$