W.r.t. x differenzieren
\cos(x)
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\sin(x)
Diagramm
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
Für eine Funktion f\left(x\right) ist die Ableitung der Grenzwert von \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, mit h gegen 0, wenn dieser Grenzwert existiert.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
Verwenden Sie die Summenformel Sinus.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Klammern Sie \sin(x) aus.
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Schreiben Sie den Grenzwert um.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Verwenden Sie beim Berechnen von Grenzwerten die Tatsache, dass x eine Konstante ist, da h gegen 0 geht.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
Der Grenzwert \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} ist 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Zum Bestimmen des Grenzwerts \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} multiplizieren Sie zunächst den Zähler und Nenner mit \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Multiplizieren Sie \cos(h)+1 mit \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Verwenden Sie den trigonometrischen Pythagoras.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Schreiben Sie den Grenzwert um.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Der Grenzwert \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} ist 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Nutzen Sie die Tatsache, dass \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} bei 0 fortlaufend ist.
\cos(x)
Setzen Sie den Wert 0 in den Ausdruck \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x) ein.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}