{l}{5x+y=5}{5x+3y=15} lösen

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 5 } \\ { 5 x + 3 y = 15 } \end{array} \right\}$$

Nach x, y auflösen

$$x=0$$

$$y=5$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$5x+y=5$$

y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x=-y+5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+5\right)$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{5} mit -y+5.

$$x=-\frac{1}{5}y+1$$

Ersetzen Sie x durch -\frac{y}{5}+1 in der anderen Gleichung, 5x+3y=15.

$$5\left(-\frac{1}{5}y+1\right)+3y=15$$

Multiplizieren Sie 5 mit -\frac{y}{5}+1.

$$-y+5+3y=15$$

Addieren Sie -y zu 3y.

$$2y+5=15$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2y=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$y=5$$

Ersetzen Sie in x=-\frac{1}{5}y+1 y durch 5. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x=-\frac{1}{5}\times 5+1$$

Multiplizieren Sie -\frac{1}{5} mit 5.

$$x=-1+1$$

Addieren Sie 1 zu -1.

$$x=0$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=0,y=5$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-5}&-\frac{1}{5\times 3-5}\\-\frac{5}{5\times 3-5}&\frac{5}{5\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 15\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 15\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.

$$x=0,y=5$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

Subtrahieren Sie 5x+3y=15 von 5x+y=5, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$5x-5x+y-3y=5-15$$

Addieren Sie 5x zu -5x. Die Terme 5x und -5x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$y-3y=5-15$$

Addieren Sie y zu -3y.

$$-2y=5-15$$

Addieren Sie 5 zu -15.

$$-2y=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$y=5$$

Ersetzen Sie in 5x+3y=15 y durch 5. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$5x+3\times 5=15$$

Multiplizieren Sie 3 mit 5.

$$5x+15=15$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x=0$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=0,y=5$$