1/x-1/x-2=3 lösen

$$\frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ x-2 } =3$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 1,577350269$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 0,422649731$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-2.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x-2 zu multiplizieren.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Kombinieren Sie x und 6x, um 7x zu erhalten.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 7x und -x, um 6x zu erhalten.

$$6x-2-3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+6x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 6 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 36 zu -24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{3} durch -6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{3} von -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{3} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-2.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x-2 zu multiplizieren.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Kombinieren Sie x und 6x, um 7x zu erhalten.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 2 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$7x-x-3x^{2}=2$$

Kombinieren Sie 7x und -x, um 6x zu erhalten.

$$6x-3x^{2}=2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+6x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Dividieren Sie 6 durch -3.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-3}$$

Dividieren Sie 2 durch -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{3}+1$$

Addieren Sie -\frac{2}{3} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{3}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{\sqrt{3}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$