-1/4x^2+3/2x+4=0 lösen

$$\frac{ -1 }{ 4 } { x }^{ 2 } + \frac{ 3 }{ 2 } x+4=0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -\frac{1}{4}, b durch \frac{3}{2} und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+4}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu 4.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{25}{4}}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{25}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{5}{2}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{3}{2} zu \frac{5}{2}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{1}{-\frac{1}{2}}$$

Dividieren Sie 1 durch -\frac{1}{2}, indem Sie 1 mit dem Kehrwert von -\frac{1}{2} multiplizieren.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von -\frac{3}{2}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Dividieren Sie -4 durch -\frac{1}{2}, indem Sie -4 mit dem Kehrwert von -\frac{1}{2} multiplizieren.

$$x=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-2 x=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x=-4$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit -4.

$$\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x}{-\frac{1}{4}}=-\frac{4}{-\frac{1}{4}}$$

Division durch -\frac{1}{4} macht die Multiplikation mit -\frac{1}{4} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{4}}x=-\frac{4}{-\frac{1}{4}}$$

Dividieren Sie \frac{3}{2} durch -\frac{1}{4}, indem Sie \frac{3}{2} mit dem Kehrwert von -\frac{1}{4} multiplizieren.

$$x^{2}-6x=-\frac{4}{-\frac{1}{4}}$$

Dividieren Sie -4 durch -\frac{1}{4}, indem Sie -4 mit dem Kehrwert von -\frac{1}{4} multiplizieren.

$$x^{2}-6x=16$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=16+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=16+9$$

Addieren Sie 16 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=25$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=25$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Vereinfachen.

$$x-3=5 x-3=-5$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=8 x=-2$$