x+9/x+16x/x+9=8 lösen

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-9,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+9\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplizieren Sie x+9 und x+9, um \left(x+9\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}\times 16, um 17x^{2} zu erhalten.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 8x mit x+9 zu multiplizieren.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtrahieren Sie 8x^{2} von beiden Seiten.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Kombinieren Sie 17x^{2} und -8x^{2}, um 9x^{2} zu erhalten.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtrahieren Sie 72x von beiden Seiten.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Kombinieren Sie 18x und -72x, um -54x zu erhalten.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 9 ergeben.

$$-1,-9 -3,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-3 b=-3$$

x^{2}-6x+9 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie x-3=0.

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-9,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+9\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplizieren Sie x+9 und x+9, um \left(x+9\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}\times 16, um 17x^{2} zu erhalten.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 8x mit x+9 zu multiplizieren.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtrahieren Sie 8x^{2} von beiden Seiten.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Kombinieren Sie 17x^{2} und -8x^{2}, um 9x^{2} zu erhalten.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtrahieren Sie 72x von beiden Seiten.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Kombinieren Sie 18x und -72x, um -54x zu erhalten.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -54 und c durch 81, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

-54 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 2916 zu -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -54 ist 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Dividieren Sie 54 durch 18.

$$x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-9,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+9\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplizieren Sie x+9 und x+9, um \left(x+9\right)^{2} zu erhalten.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}\times 16, um 17x^{2} zu erhalten.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 8x mit x+9 zu multiplizieren.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Subtrahieren Sie 8x^{2} von beiden Seiten.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Kombinieren Sie 17x^{2} und -8x^{2}, um 9x^{2} zu erhalten.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Subtrahieren Sie 72x von beiden Seiten.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Kombinieren Sie 18x und -72x, um -54x zu erhalten.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Subtrahieren Sie 81 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Dividieren Sie -54 durch 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Dividieren Sie -81 durch 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Addieren Sie -9 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-3=0 x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=3$$