frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}} lösen

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

Auswerten

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1,616244071$$

Kurze Lösungsschritte

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 4-\sqrt{2} multiplizieren.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Betrachten Sie \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

4 zum Quadrat. \sqrt{2} zum Quadrat.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Subtrahieren Sie 2 von 16, um 14 zu erhalten.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Multiplizieren Sie 4-\sqrt{2} und 4-\sqrt{2}, um \left(4-\sqrt{2}\right)^{2} zu erhalten.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

\left(4-\sqrt{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Addieren Sie 16 und 2, um 18 zu erhalten.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 4+\sqrt{2} multiplizieren.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

Betrachten Sie \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

4 zum Quadrat. \sqrt{2} zum Quadrat.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

Subtrahieren Sie 2 von 16, um 14 zu erhalten.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

Multiplizieren Sie 4+\sqrt{2} und 4+\sqrt{2}, um \left(4+\sqrt{2}\right)^{2} zu erhalten.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

\left(4+\sqrt{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

Addieren Sie 16 und 2, um 18 zu erhalten.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

Da \frac{18-8\sqrt{2}}{14} und \frac{18+8\sqrt{2}}{14} denselben Nenner haben, subtrahieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler subtrahieren.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

Führen Sie die Multiplikationen als "18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)" aus.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

Berechnungen als "18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}" ausführen.

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

Dividieren Sie -16\sqrt{2} durch 14, um -\frac{8}{7}\sqrt{2} zu erhalten.

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$