4/x-1+2/x+1=3 lösen

$$\frac { 4 } { x - 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx 2,632993162$$

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx -0,632993162$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 2 zu multiplizieren.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 4x und 2x, um 6x zu erhalten.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtrahieren Sie 2 von 4, um 2 zu erhalten.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-1 zu multiplizieren.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-3 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Auf beiden Seiten 3 addieren.

$$6x+2-3x^{2}+3=0$$

Addieren Sie 2 und 3, um 5 zu erhalten.

$$6x+5-3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+6x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 6 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+60}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 36 zu 60.

$$x=\frac{-6±\sqrt{96}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 96.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Dividieren Sie -6+4\sqrt{6} durch -6.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{6} von -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Dividieren Sie -6-4\sqrt{6} durch -6.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 2 zu multiplizieren.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 4x und 2x, um 6x zu erhalten.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Subtrahieren Sie 2 von 4, um 2 zu erhalten.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-1 zu multiplizieren.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-3 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$6x-3x^{2}=-3-2$$

Subtrahieren Sie 2 von -3, um -5 zu erhalten.

$$6x-3x^{2}=-5$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+6x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=-\frac{5}{-3}$$

Dividieren Sie 6 durch -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{5}{-3}$$

Dividieren Sie -5 durch -3.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{3}+1$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{8}{3}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{8}{3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{2\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$