frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}} lösen

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Auswerten

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Lösungsschritte

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 512-5\sqrt{3} multiplizieren.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Betrachten Sie \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Potenzieren Sie 512 mit 2, und erhalten Sie 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Erweitern Sie \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Potenzieren Sie 5 mit 2, und erhalten Sie 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Multiplizieren Sie 25 und 3, um 75 zu erhalten.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Subtrahieren Sie 75 von 262144, um 262069 zu erhalten.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21\sqrt{15} mit 512-5\sqrt{3} zu multiplizieren.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

15=3\times 5 faktorisieren. Schreiben Sie die Quadratwurzel des Produkts \sqrt{3\times 5} als das Produkt der Quadratwurzeln \sqrt{3}\sqrt{5} um.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplizieren Sie \sqrt{3} und \sqrt{3}, um 3 zu erhalten.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplizieren Sie -105 und 3, um -315 zu erhalten.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$