2/x-2+3/x+1=1 lösen

$$\frac { 2 } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 1 } = 1$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{7}+3\approx 5,645751311$$

$$x=3-\sqrt{7}\approx 0,354248689$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-2,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 3 zu multiplizieren.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 2x und 3x, um 5x zu erhalten.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Subtrahieren Sie 6 von 2, um -4 zu erhalten.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Kombinieren Sie 5x und x, um 6x zu erhalten.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$6x-4-x^{2}+2=0$$

Addieren Sie -4 und 2, um -2 zu erhalten.

$$6x-2-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+6x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 6 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 36 zu -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{7} durch -2.

$$x=3-\sqrt{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{7} von -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{7} durch -2.

$$x=\sqrt{7}+3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3-\sqrt{7} x=\sqrt{7}+3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-2,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 3 zu multiplizieren.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 2x und 3x, um 5x zu erhalten.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Subtrahieren Sie 6 von 2, um -4 zu erhalten.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Kombinieren Sie 5x und x, um 6x zu erhalten.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$6x-x^{2}=-2+4$$

Addieren Sie -2 und 4, um 2 zu erhalten.

$$6x-x^{2}=2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+6x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Dividieren Sie 6 durch -1.

$$x^{2}-6x=\frac{2}{-1}$$

Dividieren Sie 2 durch -1.

$$x^{2}-6x=-2$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-2+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-2+9$$

Addieren Sie -2 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=7$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=7$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Vereinfachen.

$$x-3=\sqrt{7} x-3=-\sqrt{7}$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$