2/x+15/x+6=1 lösen

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-6,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+6\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+6 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombinieren Sie 2x und x\times 15, um 17x zu erhalten.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+6 zu multiplizieren.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombinieren Sie 17x und -6x, um 11x zu erhalten.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=12 b=-1$$

-x^{2}+11x+12 als \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-6,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+6\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+6 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombinieren Sie 2x und x\times 15, um 17x zu erhalten.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+6 zu multiplizieren.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombinieren Sie 17x und -6x, um 11x zu erhalten.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 11 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 121 zu 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±13}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±13}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie -24 durch -2.

$$x=12$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=12$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-6,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+6\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+6 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Kombinieren Sie 2x und x\times 15, um 17x zu erhalten.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+6 zu multiplizieren.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtrahieren Sie 6x von beiden Seiten.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Kombinieren Sie 17x und -6x, um 11x zu erhalten.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 12 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$11x-x^{2}=-12$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Dividieren Sie 11 durch -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Dividieren Sie -12 durch -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie 12 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12 x=-1$$