2/x^2-1-4/x^2-3x+2=1/3x^2+6x+3 lösen

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } + 6 x + 3 }$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \approx -1,857142857$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-2 zu multiplizieren.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-6 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{2}-3x-6 mit 2 zu multiplizieren.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Multiplizieren Sie 3 und 4, um 12 zu erhalten.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit x^{2}+2x+1 zu multiplizieren.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Um das Gegenteil von "12x^{2}+24x+12" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie 6x^{2} und -12x^{2}, um -6x^{2} zu erhalten.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie -6x und -24x, um -30x zu erhalten.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Subtrahieren Sie 12 von -12, um -24 zu erhalten.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

Kombinieren Sie -6x^{2} und -x^{2}, um -7x^{2} zu erhalten.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Auf beiden Seiten 3x addieren.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

Kombinieren Sie -30x und 3x, um -27x zu erhalten.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

Subtrahieren Sie 2 von -24, um -26 zu erhalten.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -7x^{2}+ax+bx-26 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-27 ab=-7\left(-26\right)=182$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 182 ergeben.

$$-1,-182 -2,-91 -7,-26 -13,-14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-182=-183 -2-91=-93 -7-26=-33 -13-14=-27$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -27 ergibt.

$$a=-13 b=-14$$

-7x^{2}-27x-26 als \left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right) umschreiben.

$$\left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(7x+13\right)-2\left(7x+13\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7x+13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7x+13\right)\left(-x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 7x+13=0 und -x-2=0.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-2 zu multiplizieren.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-6 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{2}-3x-6 mit 2 zu multiplizieren.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Multiplizieren Sie 3 und 4, um 12 zu erhalten.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit x^{2}+2x+1 zu multiplizieren.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Um das Gegenteil von "12x^{2}+24x+12" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie 6x^{2} und -12x^{2}, um -6x^{2} zu erhalten.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie -6x und -24x, um -30x zu erhalten.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Subtrahieren Sie 12 von -12, um -24 zu erhalten.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

Kombinieren Sie -6x^{2} und -x^{2}, um -7x^{2} zu erhalten.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Auf beiden Seiten 3x addieren.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

Kombinieren Sie -30x und 3x, um -27x zu erhalten.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

Subtrahieren Sie 2 von -24, um -26 zu erhalten.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -7, b durch -27 und c durch -26, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

-27 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -7.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+28\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Multiplizieren Sie 28 mit -26.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-728}}{2\left(-7\right)}$$

Addieren Sie 729 zu -728.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1}}{2\left(-7\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±1}{2\left(-7\right)}$$

Das Gegenteil von -27 ist 27.

$$x=\frac{27±1}{2\left(-7\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -7.

$$x=\frac{27±1}{-14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{27±1}{-14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 27 zu 1.

$$x=\frac{28}{-14}$$

Dividieren Sie 28 durch -14.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{27±1}{-14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von 27.

$$x=\frac{26}{-14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{26}{-14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{13}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-2 x=-\frac{13}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-2 zu multiplizieren.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-6 mit x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x^{2}-3x-6 mit 2 zu multiplizieren.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Multiplizieren Sie 3 und 4, um 12 zu erhalten.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit x^{2}+2x+1 zu multiplizieren.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Um das Gegenteil von "12x^{2}+24x+12" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie 6x^{2} und -12x^{2}, um -6x^{2} zu erhalten.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie -6x und -24x, um -30x zu erhalten.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Subtrahieren Sie 12 von -12, um -24 zu erhalten.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

Kombinieren Sie -6x^{2} und -x^{2}, um -7x^{2} zu erhalten.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Auf beiden Seiten 3x addieren.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

Kombinieren Sie -30x und 3x, um -27x zu erhalten.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Auf beiden Seiten 24 addieren.

$$-7x^{2}-27x=2+24$$

Addieren Sie 2 und 24, um 26 zu erhalten.

$$-7x^{2}-27x=26$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -7.

$$\frac{-7x^{2}-27x}{-7}=\frac{26}{-7}$$

Division durch -7 macht die Multiplikation mit -7 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-7}\right)x=\frac{26}{-7}$$

Dividieren Sie -27 durch -7.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{26}{-7}$$

Dividieren Sie 26 durch -7.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=-\frac{26}{7}$$

Dividieren Sie \frac{27}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{27}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{27}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=-\frac{26}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{27}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=-\frac{26}{7}+\frac{729}{196}$$

Addieren Sie -\frac{26}{7} zu \frac{729}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{27}{14}=\frac{1}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{1}{14}$$

\frac{27}{14} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$