1/x+1/x+18-1/12=0 lösen

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 18 } - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-12$$

$$x=18$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-18,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 12x\left(x+18\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Kombinieren Sie 12x und 12x, um 24x zu erhalten.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Multiplizieren Sie 12 und -\frac{1}{12}, um -1 zu erhalten.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x mit x+18 zu multiplizieren.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Kombinieren Sie 24x und -18x, um 6x zu erhalten.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+216 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=-216=-216$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -216 ergeben.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=18 b=-12$$

-x^{2}+6x+216 als \left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -12 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-18\right)-12\left(x-18\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-18 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-18\right)\left(-x-12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-18=0 und -x-12=0.

$$x=18 x=-12$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-18,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 12x\left(x+18\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Kombinieren Sie 12x und 12x, um 24x zu erhalten.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Multiplizieren Sie 12 und -\frac{1}{12}, um -1 zu erhalten.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x mit x+18 zu multiplizieren.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Kombinieren Sie 24x und -18x, um 6x zu erhalten.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 6 und c durch 216, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 216.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+864}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 36 zu 864.

$$x=\frac{-6±\sqrt{900}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 900.

$$x=\frac{-6±30}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-6±30}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±30}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 30.

$$x=\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie 24 durch -2.

$$x=-12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±30}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30 von -6.

$$x=-\frac{36}{-2}$$

Dividieren Sie -36 durch -2.

$$x=18$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-12 x=18$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-18,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 12x\left(x+18\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Kombinieren Sie 12x und 12x, um 24x zu erhalten.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Multiplizieren Sie 12 und -\frac{1}{12}, um -1 zu erhalten.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x mit x+18 zu multiplizieren.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Kombinieren Sie 24x und -18x, um 6x zu erhalten.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 216 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$6x-x^{2}=-216$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+6x=-216$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=-\frac{216}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=-\frac{216}{-1}$$

Dividieren Sie 6 durch -1.

$$x^{2}-6x=-\frac{216}{-1}$$

Dividieren Sie -216 durch -1.

$$x^{2}-6x=216$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=216+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=216+9$$

Addieren Sie 216 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=225$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=225$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Vereinfachen.

$$x-3=15 x-3=-15$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=18 x=-12$$