1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1 lösen

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Kombinieren Sie x und 2x, um 3x zu erhalten.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Addieren Sie -1 und 2, um 1 zu erhalten.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Kombinieren Sie 3x und -2x, um x zu erhalten.

$$x+1-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 1 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Dividieren Sie -1+\sqrt{5} durch -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{5} von -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Dividieren Sie -1-\sqrt{5} durch -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Kombinieren Sie x und 2x, um 3x zu erhalten.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Addieren Sie -1 und 2, um 1 zu erhalten.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Kombinieren Sie 3x und -2x, um x zu erhalten.

$$x+1-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$x-x^{2}=-1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie 1 durch -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie -1 durch -1.

$$x^{2}-x=1$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$