1/3x^2+6x=9 lösen

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Nach x auflösen

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{3}, b durch 6 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplizieren Sie -\frac{4}{3} mit -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Addieren Sie 36 zu 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Dividieren Sie -6+4\sqrt{3} durch \frac{2}{3}, indem Sie -6+4\sqrt{3} mit dem Kehrwert von \frac{2}{3} multiplizieren.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{3} von -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Dividieren Sie -6-4\sqrt{3} durch \frac{2}{3}, indem Sie -6-4\sqrt{3} mit dem Kehrwert von \frac{2}{3} multiplizieren.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Division durch \frac{1}{3} macht die Multiplikation mit \frac{1}{3} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Dividieren Sie 6 durch \frac{1}{3}, indem Sie 6 mit dem Kehrwert von \frac{1}{3} multiplizieren.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Dividieren Sie 9 durch \frac{1}{3}, indem Sie 9 mit dem Kehrwert von \frac{1}{3} multiplizieren.

$$x^{2}+18x=27$$

Dividieren Sie 18, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 9 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 9 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

9 zum Quadrat.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Addieren Sie 27 zu 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Faktor x^{2}+18x+81. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Vereinfachen.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$