1/2x^2-3/2x+2/1=0 lösen

$$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 2 } { 1 } = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}\approx 1,5+1,322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}\approx 1,5-1,322875656i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{2}, b durch -\frac{3}{2} und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-2\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplizieren Sie -2 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu -4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{-\frac{7}{4}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -\frac{7}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{7}i}{2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Das Gegenteil von -\frac{3}{2} ist \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{7}i}{2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{7}i}{2}}{1}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{7}i}{2}}{1}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{3}{2} zu \frac{i\sqrt{7}}{2}.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{7}i}{2}}{1}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{i\sqrt{7}}{2} von \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x}{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Division durch \frac{1}{2} macht die Multiplikation mit \frac{1}{2} rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2} durch \frac{1}{2}, indem Sie -\frac{3}{2} mit dem Kehrwert von \frac{1}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-3x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Dividieren Sie -2 durch \frac{1}{2}, indem Sie -2 mit dem Kehrwert von \frac{1}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-3x=-4$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-4+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$