Løs z^2-6z+34=0

$$z ^ { 2 } - 6 z + 34 = 0$$

Løs for z

$$z=3+5i$$

$$z=3-5i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -6 med b og 34 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 34}}{2}$$

Kvadrér -6.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 34}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 34.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-136}}{2}$$

Adder 36 til -136.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-100}}{2}$$

Tag kvadratroden af -100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10i}{2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$z=\frac{6±10i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{6±10i}{2} når ± er plus. Adder 6 til 10i.

$$z=\frac{6+10i}{2}$$

Divider 6+10i med 2.

$$z=3+5i$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{6±10i}{2} når ± er minus. Subtraher 10i fra 6.

$$z=\frac{6-10i}{2}$$

Divider 6-10i med 2.

$$z=3-5i$$

Ligningen er nu løst.

$$z=3+5i z=3-5i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Subtraher 34 fra begge sider af ligningen.

$$z^{2}-6z+34-34=-34$$

Hvis 34 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$z^{2}-6z=-34$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-34+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$z^{2}-6z+9=-34+9$$

Adder -34 til 9.

$$z^{2}-6z+9=-25$$

Faktor z^{2}-6z+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z-3\right)^{2}=-25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Forenkling.

$$z-3=5i z-3=-5i$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$z=3+5i z=3-5i$$