Løs y^prime=(cx^2+2x+2)e^-3x

$$y ^ { \prime } = ( c x ^ { 2 } + 2 x + 2 ) e ^ { - 3 x }$$

Løs for c

$$c=-\frac{2\left(x+1\right)}{x^{2}}$$

$$x\neq 0$$

Vejledning i at løse lineær ligning

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere cx^{2}+2x+2 med e^{-3x}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)=cx^{2}e^{-3x}+2xe^{-3x}+2e^{-3x}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$cx^{2}e^{-3x}+2xe^{-3x}+2e^{-3x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)$$

Subtraher 2xe^{-3x} fra begge sider.

$$cx^{2}e^{-3x}+2e^{-3x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)-2xe^{-3x}$$

Subtraher 2e^{-3x} fra begge sider.

$$cx^{2}e^{-3x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)-2xe^{-3x}-2e^{-3x}$$

Ligningen er nu i standardform.

$$\frac{x^{2}}{e^{3x}}c=\frac{-2x-2}{e^{3x}}$$

Divider begge sider med x^{2}e^{-3x}.

$$\frac{\frac{x^{2}}{e^{3x}}ce^{3x}}{x^{2}}=\frac{\left(-\frac{2\left(x+1\right)}{e^{3x}}\right)e^{3x}}{x^{2}}$$

Division med x^{2}e^{-3x} annullerer multiplikationen med x^{2}e^{-3x}.

$$c=\frac{\left(-\frac{2\left(x+1\right)}{e^{3x}}\right)e^{3x}}{x^{2}}$$

Divider -\frac{2\left(1+x\right)}{e^{3x}} med x^{2}e^{-3x}.

$$c=-\frac{2\left(x+1\right)}{x^{2}}$$

Løs for x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{1-2c}+1}{c}\text{; }x=\frac{\sqrt{1-2c}-1}{c}\text{, }&c\neq 0\\x=-1\text{, }&c=0\end{matrix}\right,$$

Løs for x

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{1-2c}+1}{c}\text{; }x=\frac{\sqrt{1-2c}-1}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }c\leq \frac{1}{2}\\x=-1\text{, }&c=0\end{matrix}\right,$$