Løs x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Løs for x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Vejledning i brug af substitution

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$x-3y=7$$

Adder 3y på begge sider af ligningen.

$$x=3y+7$$

Substituer 3y+7 for x i den anden ligning, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Multiplicer 3 gange 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Adder 9y til 3y.

$$12y+21=9$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$12y=-12$$

Divider begge sider med 12.

$$y=-1$$

Substituer -1 for y i x=3y+7. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Multiplicer 3 gange -1.

$$x=-3+7$$

Adder 7 til -3.

$$x=4$$

Systemet er nu løst.

$$x=4,y=-1$$

Vejledning i brug af matrixer

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=4,y=-1$$

Vejledning i brug af eliminering

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Hvis x og 3x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med 3 og alle led på hver side af den anden ligning med 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Forenkling.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Subtraher 3x+3y=9 fra 3x-9y=21 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Adder 3x til -3x. Betalingsbetingelserne 3x og -3x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-9y-3y=21-9$$

Adder -9y til -3y.

$$-12y=21-9$$

Adder 21 til -9.

$$-12y=12$$

Divider begge sider med -12.

$$y=-1$$

Substituer -1 for y i 3x+3y=9. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Multiplicer 3 gange -1.

$$3x-3=9$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$3x=12$$

Divider begge sider med 3.

$$x=4$$

Systemet er nu løst.

$$x=4,y=-1$$