Løs x^2-5x-1=0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{29} + 5}{2} \approx 5,192582404$$

$$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}\approx -0,192582404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-5x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -5 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4}}{2}$$

Adder 25 til 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{29}}{2}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{29}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{29}}{2} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{29}.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{29}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{29} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-5x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$x^{2}-5x=1$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=1+\frac{25}{4}$$

Adder 1 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$