Løs x^2-16x+54=0

$$x ^ { 2 } - 16 x + 54 = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{10}+8\approx 11,16227766$$

$$x=8-\sqrt{10}\approx 4,83772234$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-16x+54=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -16 med b og 54 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Kvadrér -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 54}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 54.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-216}}{2}$$

Adder 256 til -216.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{40}}{2}$$

Tag kvadratroden af 40.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{10}}{2}$$

Det modsatte af -16 er 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{10}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{16±2\sqrt{10}}{2} når ± er plus. Adder 16 til 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+16}{2}$$

Divider 16+2\sqrt{10} med 2.

$$x=\sqrt{10}+8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{16±2\sqrt{10}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{10} fra 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{10}}{2}$$

Divider 16-2\sqrt{10} med 2.

$$x=8-\sqrt{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{10}+8 x=8-\sqrt{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-16x+54=0$$

Subtraher 54 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-16x+54-54=-54$$

Hvis 54 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-16x=-54$$

Divider -16, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -8. Adder derefter kvadratet af -8 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-54+\left(-8\right)^{2}$$

Kvadrér -8.

$$x^{2}-16x+64=-54+64$$

Adder -54 til 64.

$$x^{2}-16x+64=10$$

Faktor x^{2}-16x+64. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-8\right)^{2}=10$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Forenkling.

$$x-8=\sqrt{10} x-8=-\sqrt{10}$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{10}+8 x=8-\sqrt{10}$$