Løs x^2+4x-11<-36x-x^2

$$x ^ { 2 } + 4 x - 11 < - 36 x - x ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Tilføj 36x på begge sider.

$$x^{2}+4x-11+36x<-x^{2}$$

Kombiner 4x og 36x for at få 40x.

$$x^{2}+40x-11<-x^{2}$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$x^{2}+40x-11+x^{2}<0$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}+40x-11<0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+40x-11=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, 40 med b, og -11 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{422}}{2}-10 x=-\frac{\sqrt{422}}{2}-10$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) er positiv og x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) er negativ.

$$x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) er positiv og x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) er negativ.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$