Løs x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Løs for x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Vejledning i faktorisering

Faktor x^{2}+31x-360 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=31 ab=-360$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Løsningen er det par, der får summen 31.

$$a=-9 b=40$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Løs x-9=0 og x+40=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=9 x=-40$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-360. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Løsningen er det par, der får summen 31.

$$a=-9 b=40$$

Omskriv x^{2}+31x-360 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Udx i den første og 40 i den anden gruppe.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Løs x-9=0 og x+40=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=9 x=-40$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 31 med b og -360 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Kvadrér 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Adder 961 til 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Tag kvadratroden af 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-31±49}{2} når ± er plus. Adder -31 til 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Divider 18 med 2.

$$x=9$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-31±49}{2} når ± er minus. Subtraher 49 fra -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Divider -80 med 2.

$$x=-40$$

Ligningen er nu løst.

$$x=9 x=-40$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Adder 360 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Hvis -360 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Subtraher -360 fra 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Divider 31, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{31}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{31}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{31}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Adder 360 til \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Faktor x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Subtraher \frac{31}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=9 x=-40$$