Løs x^2+2x+3=0

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 2 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2}$$

Adder 4 til -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Tag kvadratroden af -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} når ± er plus. Adder -2 til 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{2}$$

Divider -2+2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-1+\sqrt{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{2} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{2}$$

Divider -2-2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-\sqrt{2}i-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}+2x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+2x=-3$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-3+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=-3+1$$

Adder -3 til 1.

$$x^{2}+2x+1=-2$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=-2$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkling.

$$x+1=\sqrt{2}i x+1=-\sqrt{2}i$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$