Løs n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Beregn 2009 til potensen af 2, og få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4019 med b og 4036081 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Kvadrér -4019.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Adder 16152361 til -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Tag kvadratroden af 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Det modsatte af -4019 er 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} når ± er plus. Adder 4019 til 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{893} fra 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Beregn 2009 til potensen af 2, og få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Subtraher 4036081 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Divider -4019, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4019}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4019}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4019}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Adder -4036081 til \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Faktor n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Forenkling.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Adder \frac{4019}{2} på begge sider af ligningen.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$