Løs n^2+3n-42=0

$$n ^ { 2 } + 3 n - 42 = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{177} - 3}{2} \approx 5,152067348$$

$$n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}\approx -8,152067348$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$n^{2}+3n-42=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 3 med b og -42 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Kvadrér 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -42.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+168}}{2}$$

Adder 9 til 168.

$$n=\frac{-3±\sqrt{177}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-3±\sqrt{177}}{2} når ± er plus. Adder -3 til \sqrt{177}.

$$n=\frac{\sqrt{177}-3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-3±\sqrt{177}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{177} fra -3.

$$n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{\sqrt{177}-3}{2} n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$n^{2}+3n-42=0$$

Adder 42 på begge sider af ligningen.

$$n^{2}+3n-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Hvis -42 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$n^{2}+3n=-\left(-42\right)$$

Subtraher -42 fra 0.

$$n^{2}+3n=42$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+3n+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=42+\frac{9}{4}$$

Adder 42 til \frac{9}{4}.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=\frac{177}{4}$$

Faktor n^{2}+3n+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Forenkling.

$$n+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} n+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{177}-3}{2} n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}$$