Løs a^2+(7-a)^2=169

$$a ^ { 2 } + ( 7 - a ) ^ { 2 } = 169$$

Løs for a

$$a=-5$$

$$a=12$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Kombiner a^{2} og a^{2} for at få 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Subtraher 169 fra begge sider.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Subtraher 169 fra 49 for at få -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Divider begge sider med 2.

$$a^{2}-60-7a=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$a^{2}-7a-60=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som a^{2}+aa+ba-60. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-12 b=5$$

Omskriv a^{2}-7a-60 som \left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right).

$$\left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)$$

Uda i den første og 5 i den anden gruppe.

$$a\left(a-12\right)+5\left(a-12\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet a-12 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(a-12\right)\left(a+5\right)$$

Løs a-12=0 og a+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$a=12 a=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Kombiner a^{2} og a^{2} for at få 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Subtraher 169 fra begge sider.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Subtraher 169 fra 49 for at få -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2a^{2}-14a-120=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -14 med b og -120 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -14.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -120.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

Adder 196 til 960.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 1156.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 2}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$a=\frac{14±34}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$a=\frac{14±34}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{14±34}{4} når ± er plus. Adder 14 til 34.

$$a=\frac{48}{4}$$

Divider 48 med 4.

$$a=12$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{14±34}{4} når ± er minus. Subtraher 34 fra 14.

$$a=-\frac{20}{4}$$

Divider -20 med 4.

$$a=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$a=12 a=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Kombiner a^{2} og a^{2} for at få 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Subtraher 49 fra begge sider.

$$2a^{2}-14a=169-49$$

Subtraher 49 fra 169 for at få 120.

$$2a^{2}-14a=120$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2a^{2}-14a}{2}=\frac{120}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)a=\frac{120}{2}$$

Divider -14 med 2.

$$a^{2}-7a=\frac{120}{2}$$

Divider 120 med 2.

$$a^{2}-7a=60$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-7a+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Adder 60 til \frac{49}{4}.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktor a^{2}-7a+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} a-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$a=12 a=-5$$