Løs 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Løs for x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 25 fra begge sider.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtraher 25 fra 9 for at få -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 9x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-9 b=16$$

Omskriv 9x^{2}+7x-16 som \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Ud9x i den første og 16 i den anden gruppe.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Løs x-1=0 og 9x+16=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtraher 25 fra 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 7 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Adder 49 til 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±25}{18} når ± er plus. Adder -7 til 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Divider 18 med 18.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±25}{18} når ± er minus. Subtraher 25 fra -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-32}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Subtraher 9 fra 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Divider \frac{7}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{18}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Føj \frac{16}{9} til \frac{49}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Subtraher \frac{7}{18} fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$