Løs 9x^2+6x+3=0

$$9 { x }^{ 2 } +6x+3 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 6 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 3}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-108}}{2\times 9}$$

Adder 36 til -108.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-72}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af -72.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} når ± er plus. Adder -6 til 6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+6\sqrt{2}i}{18}$$

Divider -6+6i\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} når ± er minus. Subtraher 6i\sqrt{2} fra -6.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-6}{18}$$

Divider -6-6i\sqrt{2} med 18.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$9x^{2}+6x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9x^{2}+6x=-3$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{3}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{3}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{3}{9}$$

Reducer fraktionen \frac{-3}{9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider \frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Subtraher \frac{1}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$