Løs 9t^2-36t+1=0

$$9 { t }^{ 2 } -36t+1 = 0$$

Løs for t

$$t=\frac{\sqrt{35}}{3}+2\approx 3,972026594$$

$$t=-\frac{\sqrt{35}}{3}+2\approx 0,027973406$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9t^{2}-36t+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -36 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrér -36.

$$t=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$t=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-36}}{2\times 9}$$

Adder 1296 til -36.

$$t=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1260}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 1260.

$$t=\frac{-\left(-36\right)±6\sqrt{35}}{2\times 9}$$

Det modsatte af -36 er 36.

$$t=\frac{36±6\sqrt{35}}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$t=\frac{36±6\sqrt{35}}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{36±6\sqrt{35}}{18} når ± er plus. Adder 36 til 6\sqrt{35}.

$$t=\frac{6\sqrt{35}+36}{18}$$

Divider 36+6\sqrt{35} med 18.

$$t=\frac{\sqrt{35}}{3}+2$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{36±6\sqrt{35}}{18} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{35} fra 36.

$$t=\frac{36-6\sqrt{35}}{18}$$

Divider 36-6\sqrt{35} med 18.

$$t=-\frac{\sqrt{35}}{3}+2$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{\sqrt{35}}{3}+2 t=-\frac{\sqrt{35}}{3}+2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9t^{2}-36t+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$9t^{2}-36t+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$9t^{2}-36t=-1$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9t^{2}-36t}{9}=-\frac{1}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$t^{2}+\left(-\frac{36}{9}\right)t=-\frac{1}{9}$$

Divider -36 med 9.

$$t^{2}-4t=-\frac{1}{9}$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$t^{2}-4t+4=-\frac{1}{9}+4$$

Adder -\frac{1}{9} til 4.

$$t^{2}-4t+4=\frac{35}{9}$$

Faktor t^{2}-4t+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-2\right)^{2}=\frac{35}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{35}{9}}$$

Forenkling.

$$t-2=\frac{\sqrt{35}}{3} t-2=-\frac{\sqrt{35}}{3}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$t=\frac{\sqrt{35}}{3}+2 t=-\frac{\sqrt{35}}{3}+2$$