Løs 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 21 fra begge sider.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 8x^{2}+ax+bx-21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=-12 b=14$$

Omskriv 8x^{2}+2x-21 som \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Ud4x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Løs 2x-3=0 og 4x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}+2x=21$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Hvis 21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, 2 med b og -21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Adder 4 til 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±26}{16} når ± er plus. Adder -2 til 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{24}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±26}{16} når ± er minus. Subtraher 26 fra -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{-28}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}+2x=21$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Divider \frac{1}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Føj \frac{21}{8} til \frac{1}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Subtraher \frac{1}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$