Løs 8x+2-3x^2+1=35-x^2

$$8 x + 2 - 3 x ^ { 2 } + 1 = 35 - x ^ { 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

Subtraher 35 fra begge sider.

$$8x+3-3x^{2}-35=-x^{2}$$

Subtraher 35 fra 3 for at få -32.

$$8x-32-3x^{2}=-x^{2}$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$8x-32-3x^{2}+x^{2}=0$$

Kombiner -3x^{2} og x^{2} for at få -2x^{2}.

$$8x-32-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+8x-32=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 8 med b og -32 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+8\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -32.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-256}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 64 til -256.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af -192.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4} når ± er plus. Adder -8 til 8i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8+8\sqrt{3}i}{-4}$$

Divider -8+8i\sqrt{3} med -4.

$$x=-2\sqrt{3}i+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4} når ± er minus. Subtraher 8i\sqrt{3} fra -8.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i-8}{-4}$$

Divider -8-8i\sqrt{3} med -4.

$$x=2+2\sqrt{3}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2\sqrt{3}i+2 x=2+2\sqrt{3}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$8x+3-3x^{2}+x^{2}=35$$

Kombiner -3x^{2} og x^{2} for at få -2x^{2}.

$$8x+3-2x^{2}=35$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$8x-2x^{2}=35-3$$

Subtraher 3 fra 35 for at få 32.

$$8x-2x^{2}=32$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+8x=32$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+8x}{-2}=\frac{32}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{8}{-2}x=\frac{32}{-2}$$

Divider 8 med -2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{-2}$$

Divider 32 med -2.

$$x^{2}-4x=-16$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-16+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-16+4$$

Adder -16 til 4.

$$x^{2}-4x+4=-12$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-12$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-12}$$

Forenkling.

$$x-2=2\sqrt{3}i x-2=-2\sqrt{3}i$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$