Løs 8x^2-6x-4=0

$$8 { x }^{ 2 } -6x-4=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 8 med a, -6 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -4 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Multiplicer -32 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+128}}{2\times 8}$$

Adder 36 til 128.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{164}}{2\times 8}$$

Tag kvadratroden af 164.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Multiplicer 2 gange 8.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16} når ± er plus. Adder 6 til 2\sqrt{41}.

$$x=\frac{2\sqrt{41}+6}{16}$$

Divider 6+2\sqrt{41} med 16.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{41} fra 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{41}}{16}$$

Divider 6-2\sqrt{41} med 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$8x^{2}-6x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$8x^{2}-6x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$8x^{2}-6x=4$$

Divider begge sider med 8.

$$\frac{8x^{2}-6x}{8}=\frac{4}{8}$$

Division med 8 annullerer multiplikationen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{8}\right)x=\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{3}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{9}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Adder \frac{3}{8} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$