Løs 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-78. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=-21 b=26$$

Omskriv 7x^{2}+5x-78 som \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Ud7x i den første og 26 i den anden gruppe.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Løs x-3=0 og 7x+26=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 5 med b og -78 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Adder 25 til 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±47}{14} når ± er plus. Adder -5 til 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Divider 42 med 14.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±47}{14} når ± er minus. Subtraher 47 fra -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{-52}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Adder 78 på begge sider af ligningen.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Hvis -78 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Subtraher -78 fra 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Divider \frac{5}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{14}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Føj \frac{78}{7} til \frac{25}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Subtraher \frac{5}{14} fra begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$