Løs 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Løs for t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, -32 med b og 12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Kvadrér -32.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Adder 1024 til -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Det modsatte af -32 er 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} når ± er plus. Adder 32 til 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Divider 32+4\sqrt{43} med 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{43} fra 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Divider 32-4\sqrt{43} med 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Subtraher 12 fra begge sider af ligningen.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Hvis 12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Divider -\frac{32}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{16}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{16}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{16}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Føj -\frac{12}{7} til \frac{256}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Faktor t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Adder \frac{16}{7} på begge sider af ligningen.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$