Løs 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Løs for n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7n^{2}+an+bn-18. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Løsningen er det par, der får summen 39.

$$a=-3 b=42$$

Omskriv 7n^{2}+39n-18 som \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Udn i den første og 6 i den anden gruppe.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 7n-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Løs 7n-3=0 og n+6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 39 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 39.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Adder 1521 til 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-39±45}{14} når ± er plus. Adder -39 til 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-39±45}{14} når ± er minus. Subtraher 45 fra -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Divider -84 med 14.

$$n=-6$$

Ligningen er nu løst.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Adder 18 på begge sider af ligningen.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Hvis -18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Subtraher -18 fra 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Divider \frac{39}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{39}{14}. Adder derefter kvadratet af \frac{39}{14} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{39}{14} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Føj \frac{18}{7} til \frac{1521}{196} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktor n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Forenkling.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Subtraher \frac{39}{14} fra begge sider af ligningen.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$