Løs 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=-8 b=5$$

Omskriv 2x^{2}-3x-20 som \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Ud2x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Løs x-4=0 og 2x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -9 med b og -60 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Adder 81 til 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±39}{12} når ± er plus. Adder 9 til 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Divider 48 med 12.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±39}{12} når ± er minus. Subtraher 39 fra 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Adder 60 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Hvis -60 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Subtraher -60 fra 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-9}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Divider 60 med 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Adder 10 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$